Contact
Search the Web:


Tanggal Upload 2018-02-13
Oleh Wibowo Adi Nugroho, S.Pd


LOGIKA MATEMATIKA


Logika Matematika

Dalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah. Pernyataan sendiri terbagi menjadi 2 jenis, yaitu:

  1. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:
“5 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “5 adalah bilangan ganjil”.

  1. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:
Description: p(x): 3x+1 > 6, x in mathbb{R}

Saat Description: x = 1, maka Description: p(1): 3(1) + 1 > 6bernilai salah
Saat Description: x = 2, maka Description: p(2): 3(2) + 1 > 6bernilai benar

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan Description: pdilambangkan dengan Description: sim p.

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

Description: p: semua orang adalah sarjana (Kuantor universal)

Description: sim p: sebagian orang adalah tidak sarjana

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

 

Tabel Kebenaran Konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Description: logika matematika disjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

Description: tabel implikasi

Pada sifat implikasi ini, Description: p Rightarrow q, p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Description: tabel biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “Description: equiv“.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Description: bentuk ekuivalen tabel kebenaran

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi: Description: sim (p wedge q) equiv sim p vee sim q

Ingkaran Disjungsi: Description: sim (p vee q) equiv sim p wedge sim q

Ingkaran Implikasi: Description: sim (p Rightarrow q) equiv p wedge sim q

Ingkaran Biimplikasi: Description: sim (p Leftrightarrow q) equiv (p wedge sim q) vee (q wedge sim p)

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari Description: p Rightarrow qadalah Description: q Rightarrow p

Invers dari Description: p Rightarrow qadalah Description: sim p Rightarrow sim q

Kontraposisi dari Description: p Rightarrow qadalah Description: sim q Rightarrow sim p

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

Description: penarikan kesimpulan logika matematika

Contoh Soal Logika Matematika:

Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               :
Description: p Rightarrow q
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               :
Description: p Rightarrow q
Premis 2               : Description: sim q
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal logika matematika 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               :
Description: p Rightarrow q
Premis 2               : Description: q Rightarrow r
Kesimpulan          : Description: p Rightarrow r(silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.