SMK Taruna Bangsa

Bacaan Artikel Siswa SMK Taruna Bangsa Kota Bekasi

Sejarah dan Manfaat Kalkulus

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-11-06

Sejarah dan Manfaat Kalkulus Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Matematika tidak hanya digunakan oleh orang-orang atau ilmuwan yang berkecimpung dalam dunia matematika saja melainkan hampir semua aspek mulai dari rumah tangga, seorang dokter, insyinyur elektronik, programmer, insinyur sipil, insinyur mesin, akuntan, manajer, ekonom maupun banyak ahli bidang lain. Sejarah Kalkulus Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristikyang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle”. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusimenemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. LEIBNIZ Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The science of fluxions”. Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi infintesimal. Pada abad ke- 19, konsep infinitesimal digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, Kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit - limit tertentu. Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. ...Selengkapnya

Sejarah dan Manfaat Kalkulus

 2018-11-06

Sejarah dan Manfaat Kalkulus Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer....Selengkapnya

PERANAN MATEMATIKA DALAM PERKEMBANGAN SCIENCE CENTER

 Giri Priyono    2018-11-05

Semua aspek kehidupan tidak terlepas dari hakikat dan logika matematika. Mulai sejak membuka mata hingga menutup mata kembali merupakan rangkaian puzzle matematika yang mungkin tidak kita sadari. Hitungan, penalaran, alur pikir, perdagangan, pelayaran, penerbangan, kuliner, industri, dan masih banyak lagi....Selengkapnya

TIPS BELAJAR MATEMATIKA YANG ASYIK DAN MENYENANGKAN

 Giri Priyono    2018-10-16

Tidak bisa ditampik lagi kalau bidang studi Matematika kerap menjadi momok bagi anak-anak. Mereka selalu merasa kesulitan dalam menghitung, memahami soal cerita, hingga menghafalkan rumus-rumus yang jumlah tidak sedikit. Akhirnya anak-anak jadi membenci Matematika dan malas mempelajarinya dengan lebih serius....Selengkapnya

Manfaat dan Fungsi Logaritma

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-10-09

Manfaat dan Fungsi Logaritma...Selengkapnya

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

 Giri Priyono    2018-09-10

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real....Selengkapnya

5 Aplikasi Statistik yang Sering Digunakan

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-09-03

Di era digital saat ini, tentunya sudah banyak aplikasi-aplikasi statistik yang mampu membantu proses hitung dan analisa kita untuk mengolah data statistik. Kita bisa belajar aplikasi tersebut lewat pelajaran di kampus, buku-buku, dan internet dengan googling maupun melihat tutorialnya di youtube. Nah, penasaran kan aplikasi statistik apa yang populer digunakan saat ini :...Selengkapnya

Ruang Sample

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-08-10

Mengetahui Percobaan, Ruang Sampel, dan Menghitung Peluang Kejadian...Selengkapnya

Cara Mudah Belajar Matematika Dasar Dengan Cepat (Perkalian)

 Giri Priyono    2018-08-03

– Matematika memang sesuatu mata pelajaran ketika di sekolah yang terkenal sulit. Akan tetapi akan sangat mudah dan menyenangkan jika pelajaran matematika ini dipelajari dengan cara yang seru dan menyenangkan, bahkan akan sangat mudah untuk dipahami....Selengkapnya

Cara Menghitung Rumus Luas Jajar Genjang

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-07-18

Cara Menghitung Rumus Luas Jajar Genjang...Selengkapnya

PENERAPAN MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

 Giri Priyono    2018-07-16

Jika saya mendapat uang seribu rupiah untuk menjawab setiap pertanyaan dari siswa tentang "Pak, apa guna saya mempelajari materi matematika ini?" atau "Kapan dan bagaimana menerapkan materi matematika ini di kehidupan sehari-hari?" mungkin saya akanmenjadiseorangjutawan....Selengkapnya

Mean/Rata-rata A. rata- rata Hitung 1) Data Tunggal Dengan banyak data n dan nilai : x1,x2,x3,...,xn,... maka nilai rata-rata ( x̄ ) dapat ditentukan dengan cara berikut ini

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-05-24

Mean/Rata-rata A. rata- rata Hitung 1) Data Tunggal Dengan banyak data n dan nilai : x1,x2,x3,...,xn,... maka nilai rata-rata ( x̄ ) dapat ditentukan dengan cara berikut ini ...Selengkapnya

Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewa pada Trigonometri

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-05-14

Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewa pada Trigonometri...Selengkapnya

Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Misalkan suatu fungsi memiliki invers dan memiliki invers . Komposisi dan juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Sebelumnya, perhatikan penertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers. Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Misalkan suatu fungsi memiliki invers dan memiliki invers . Komposisi dan juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Sebelumnya, perhatikan penertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers. Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi Fungsi invers

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-04-17

Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Misalkan suatu fungsi memiliki invers dan memiliki invers . Komposisi dan juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Sebelumnya, perhatikan penertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers. ...Selengkapnya

Soal Transformasi (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi)

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-02-24

Soal Transformasi (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi) Kelas XI dan Pembahasan – Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Reflesi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ dengan pusat titik P. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dan pusat tertentu....Selengkapnya

LOGIKA MATEMATIKA

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-02-13

Logika MatematikaDalam logika matematika, kita belajar untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar atau salah. Pernyataan sendiri terbagi menjadi 2 jenis, yaitu:1. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.Contoh:“5 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “5 adalah bilangan ganjil”.2. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.Contoh logika matematika: Saat , maka bernilai salahSaat , maka bernilai benarIngkaran atau Negasi dari suatu PernyataanIngkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan dilambangkan dengan .Pernyataan KuantorPernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran. : semua orang adalah sarjana (Kuantor universal) : sebagian orang adalah tidak sarjanaPernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan IngkarannyaDalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri. Tabel Kebenaran Konjungsi Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.Tabel Kebenaran Disjungsi Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.Tabel Kebenaran Implikasi Pada sifat implikasi ini, , p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.Tabel Kebenaran Biimplikasi Pada sifat biimplikasi, penyataan majemuk akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.Tautologi dan KontradiksiTautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.Bentuk Ekuivalen Pernyataan MajemukPernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “ “.Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah: Ingkaran Pernyataan MajemukIngkaran Konjungsi: Ingkaran Disjungsi: Ingkaran Implikasi: Ingkaran Biimplikasi: Konvers, Invers dan KontraposisiKonvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:Konvers dari adalah Invers dari adalah Kontraposisi dari adalah Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu: Contoh Soal Logika Matematika:Soal 1:Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelasPremis 2 : Andi rajin belajarKesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….Jawab:Premis 1 : Premis 2 : pKesimpulan : q (modus ponens)Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.Soal 2:Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah liburPremis 2 : sekolah tidak liburKesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….Jawab:Premis 1 : Premis 2 : Kesimpulan : (modus tollens)Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.Soal logika matematika 3:Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marahPremis 2 : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang sakuKesimpulan dari kedua premis diatas adalah …Jawab:Premis 1 : Premis 2 : Kesimpulan : (silogisme)Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku....Selengkapnya

Soal pembahasan materi trigonometri luas segitiga dan segibanyak beraturan

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-01-15

Soal pembahasan materi trigonometri luas segitiga dan segibanyak beraturan matematika kelas 10 SMA.Luas SegitigaSoal No. 1Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut! Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus pertama di bawah!PembahasanAmbil garis tinggi dari segitiga Phytagoras saat mencari tinggi segitiga Berikutnya menentukan luas segitiga. 4 kelompok rumus berikut untuk menentukan luas suatu segitiga. Luas segitiga dengan rumus pertama: Soal No. 2Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut! Tentukan luas segitiga dengan menggunakan rumus nomor 3 di atas!PembahasanCari setengah dari keliling segitiga terlebih dahulu Masuk rumus nomor tiga Soal No. 3Segitiga samasisi ABC dengan ukuran diperlihatkan gambar berikut! Tentukan luas segitiga!PembahasanSatu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan rumus dari kelompok 2. Soal No. 4Jajargenjang PQRS diperlihatkan pada gambar berikut! Panjang PQ adalah 10 cm dan QR adalah 8 cm. Sudut PQR = 60°. Tentukan luas jajargenjang PQRS!PembahasanJajar genjang tersusun dari dua buah segitiga, yaitu segitiga PQR dan segitiga PSR yang luasnya sama. Sehingga luas jajargenjang sama dengan dua kali luas salah satu segitiga. Soal No. 5Segitiga PQR diperlihatkan gambar berikut. Jika luas segitiga PQR adalah 24 cm2 tentukan nilai sin xPembahasanDari rumus luas segitiga ditemukan nilai sin x Soal No. 6Pada sebuah lingkaran dibuat segi-12 beraturan. Jika jari-jari lingkaran adalah 10 cm, tentukan luas segi-12 yang terbentuk!PembahasanKali ini akan digunakan rumus langsung untuk menentukan luas segi-n beraturan yang dibuat di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari r, dasarnya dari luas segitiga menggunakan sinus, dikalikan banyaknya segitiga yang terbentuk. Segi 12n = 12r = 10A =.......dengan rumus di atas diperoleh: ...Selengkapnya

Rumus Turunan (diferensial) Matematika

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2018-01-04

Rumus Turunan (diferensial) Matematika...Selengkapnya

MATRIKS

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2017-12-06

Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Operasi Dasar Matriks :1. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak yang sama. representasi dekoratifnya sebagai berikut 2. Perkalian SkalarPerkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama dan maka contoh perhitungan : Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh : merupakan matriks berordo 3×2Matriks IdentitasMatriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1 Matriks Transpose (At)Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh : maka matriks transposenya (At) adalah Contoh – contoh :1. Kesamaan Dua Matriks Tentukan nilai 2x-y+5z!Jawab: maka maka maka 2. 3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel 4. Determinan Suatu MatriksUntuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :1. Misalnya terdapat matriks yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah 2. Metode SarrusMisalnya terdapat maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi Sebagai contohnya maka tentukan 3. Metode Ekspansi Baris dan KolomJika diketahui maka untuk menentukan determian dari matriks P Matriks SingularMatriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.Sebagai contoh Jika A matriks singular, tentukan nilai x!Jawab: vs Invers MatriksMisalnya diketahui maka invers dari matriks A Sifat-sifat dari invers suatu matriks : Persamaan MatriksTentukan X matriks dari persamaan:• Jika diketahui matriks A.X=B • Jika diketahui matriks X.A=B ...Selengkapnya

Rumus Luas dan Keliling Bangun Datar Matematika

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2017-12-05

Rumus Luas dan Keliling Bangun Datar MatematikaRumus Bangun Datar Matematika – Pengertian Bangun Datar dalam Mata Pelajaran Matematika menurut imam roji adalah suatu bagian dari bidang datar yg telah dibatasi oleh garis – garis lurus maupun lengkung sehingga bisa disimpulkan bahwa bangun datar ini merupakan bangun 2 dimensi yang hanya mempunyai panjang dan lebar dan telah dibatasi oleh garis lengkung dan garis lurus.Secara umum Bangun Datar Dua Dimensi Matematika ini terbagi menjadi Delapan Bangun Dua Dimensi yang antara lain Bangun Datar Persegi, Bangun Datar Persegi Panjang, Bangun Datar Trapesium, Bangun Datar Layang – Layang, Bangun Datar Belah Ketupat, Bangun Datar Lingkaran, Bangun Datar Jajar Genjang dan Bangun Datar Segitiga. Tiap tiap Macam Bangun Datar Matematika tersebut memiliki sifat dan rumus yang berbeda satu sama lainnya dan Sifat Bangun Datar Matematika ini sudah dijelaskan oleh saya dipertemuan sebelumnya.Oleh karena itu dikesempatan ini tinggal saya akan menjelaskan dan memberikan kepada kalian semua para pembaca dilaman rumus rumus tentang Rumus Bangun Datar Matematika karena tidak bisa dipungkiri bahwa Mata Pelajaran Matematika tentang Bangun Datar ini cukup penting dan sering juga keluar di Soal – Soal Ujian Matematika seperti Soal Ujian Nasional (UN) maupun Soal Ujian Akhir Sekolah (UAS) baik di tingkat Sekolah Dasar (SD) kelas 6 dan Sekolah Menengah Pertama (SMP) kelas 7.Rumus Bangun Datar Matematika Secara Lengkap Langsung saja dibawah ini telah saya tuliskan Kumpulan Rumus Bangun Datar Dua Dimensi secara lengkap baik Rumus Luas dan Keliling Bangun Datar Persegi, Bangun Datar Persegi Panjang, Bangun Datar Trapesium, Bangun Datar Layang – Layang, Bangun Datar Belah Ketupat, Bangun Datar Lingkaran, Bangun Datar Jajar Genjang dan Bangun Datar Segitiga.advertisements1. Rumus Persegi Bangun DatarBangun Datar Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya mempunyai panjang yang sama dan untuk Rumus Luas dan Keliling Persegi bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Persegi = s x s (s²)Rumus Keliling Persegi = 4 x s (s adalah sisi)2. Rumus Persegi Panjang Bangun DatarBangun Datar Persegi Panjang adalah suatu bangun datar yg memiliki sisi yang berhadapan yang sama panjang dan mempunyai 4 buah titik sudut yang siku – siku. Untuk Rumus Luas Bangun Datar Persegi Panjang dan Rumus Keliling Bangun Datar Persegi Panjang bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Persegi Panjang = p x lRumus Keliling Persegi Panjang = 2 x (p+l) || p : panjang dan l : lebar3. Rumus Jajar Genjang Bangun DatarBangun Datar Jajar Genjang adalah Bangun Segi empat yang mempunyai sisi sepasang – pasang yang sama panjang dan sejajar. Untuk Rumus Luas dan Keliling Jajar Genjang bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Jajar Genjang = a x t || a : alas dan t : tinggiRumus Keliling Jajar Genjang = AB + BC + CD + AD4. Rumus Trapesium Bangun DatarBangun Datar Trapesium adalah bangun Segi Empat yang mempunyai sepasang sisi yang sejajar. Untuk Rumus Luas dan Keliling Trapesium bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Trapesium = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggiRumus Keliling Trapesium = AB + BC + CD + DA5. Rumus Layang – Layang Bangun DatarBangun Datar Layang – Layang adalah Bangun Segi empat yang salah satu diagonalnya dapat memotong tegak lurus dengan sumbu diagonal yang lainnya. Dan untuk Rumus Luas dan Keliling Layang – Layang bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Layang – Layang = ½ x d1 x d2 || d : diagonalRumus Keliling Layang – Layang = 2 x (AB + BC)6. Rumus Segitiga Bangun DatarBangun Datar Segitiga adalah bangun datar yg dibentuk oleh 3 buah titik yg titik tersebut tidak segaris. Sedang untuk Rumus Luas dan Keliling Segitiga bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Segitiga = ½ x a x t || a : alas dan t : tinggiRumus Keliling Segitiga = AB + BC + AC7. Rumus Belah Ketupat Bangun DatarBangun Datar Belah Ketupat adalah Bangun Segi Empat yang semua sisi – sisinya itu sama panjang dan kedua diagonal belah ketupat saling berpotongan tegak lurus. Untuk Rumus Luas dan Keliling Belah Ketupat bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Belah Ketupat = ½ x di x d2 || d : diagonalRumus Keliling Belah Ketupat = 4 x s || s : sisi8. Rumus Lingkaran Bangun DatarBangun Datar Lingkaran adalah bangun datar yang terbentuk dari himpunan – himpunan yang semua titiknya mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. Jarak itu biasanya dilambangkan dengan r (Radius) atau sering disebut juga jari – jari. Untuk Rumus Luas dan Keliling Lingkaran bisa kalian lihat dibawah ini :Rumus Luas Lingkaran = π x r² (π : 22/7 atau 3.14 dan r : jari – jari)Rumus Keliling Lingkaran = π x d (π : 22/7 atau 3.14 dan d : diameter)Itulah Kumpulan Rumus Bangun Datar Matematika yang terbagi menjadi Bangun Datar Persegi, Bangun Datar Persegi Panjang, Bangun Datar Trapesium, Bangun Datar Layang – Layang, Bangun Datar Belah Ketupat, Bangun Datar Lingkaran, Bangun Datar Jajar Genjang dan Bangun Datar Segitiga.Semoga saja ulasan tentang Bangun Datar Matematika ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kalian para pembaca dan pelajar yang membutuhkan informasi tentang Rumus Bangun Datar Matematika ini karena tidak bisa dipungkiri bahwa di jaman sekarang media online sudah berkembang sangat pesat dan dijaman sekarang ini pula kita sebagai pelajar bisa belajar lewat media online yang lebih praktis dan mudah....Selengkapnya

Integral

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2017-12-05

Integral (II) – Menghitung Luas Bidang DatarSalah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas bidang datar yang dibentuk oleh persamaan-persamaan garis atau kurvaIlustrasi: Contoh 1:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 – 4x + 5 dan sumbu x adalah: *sumbu x berarti garis y = 0 Contoh 2:Luas daerah yang dibatasi oleh garis x – 3y = 4, sumbu x, untuk 1 ≤ x ≤ 8 adalah: *Persamaan x – 3y = 4 diubah menjadi 3y = x – 4, jadi Luas daerah tersebut terdiri dari 2 bagian: Contoh 3:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan garis y = x adalah *Perpotongan terjadi di x = 0 dan x = 3 Contoh 4:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 – 8y + 12 dan garis y = x + 2 *Perpotongan terjadi di y = 2 dan y = 7*y = x + 2 diubah menjadi x = y – 2 Contoh 5:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x = y2 adalah: *Perpotongan terjadi pada (0, 0) dan (1, 1) Jika dilihat dari sumbu x (menggunakan dx):Persamaan x = y2 diubah menjadi y = ±√xYang digunakan adalah y = √x, karena yang berpotongan adalah setengah dari kurva x = y2 bagian atas Jika dilihat dari sumbu y (menggunakan dy):Persamaan y = x2 diubah menjadi x = ±√yYang digunakan adalah x = √y, karena yang berpotongan adalah setengah dari kurva y = x2 bagian kanan Cara cepat!Jika luas daerah hanya dibatasi kurva/garis dan sumbu x atau antara kurva dan garis atau antara 2 kurva, di mana persamaan kurva merupakan fungsi kuadrat, cari persamaan baru dengan menggunakan y1 = y2, hingga diperoleh bentuk ax2 + bx + c = 0 kemudian masukkan ke dalam rumus: di mana D = b2 – 4acContoh:seperti pada Contoh 3: luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan garis y = xx2 – 2x = xx2 – 2x – x = 0x2 – 3x = 0a = 1, b = –3, c = 0 ...Selengkapnya

Limit

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2017-09-15

Rangkuman Kelas XII 148 MATERI 15 LIMIT FUNGSI (HARGA BATAS) L imit merupakan bagian dari “Kalkulus” (hitung diferensial dan hitung integral), karena dasar - dasar kalkulus menggunakan konsep limit yang dirumuskan oleh Augustin Louis Canchy (1789 - 1857) ahli matematika berkebangsaan Perancis. Contoh kalimat limit dalam kehidupan sehari - hari adalah “ Nilai UN matematika Adi mendekati sempurna. ” Kata kunci limit : mendekati, hampir saja, dan sedikit lagi pada kalimat di atas dianalogikan sebagai pengertian dari limit. Misal : y=f(x)=2x+1 dengan x R, jika x mendekati 2....Selengkapnya

Bilangan Real

 Wibowo Adi Nugroho, S.Pd    2017-08-12

operasi bilangan real pada bilangan pecahan...Selengkapnya